МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ (В. С. Авдуевский, Э. А. Ашратов, А. В. Иванов и др. –М.: Машиностроение, 1989. –320 с. –НГАУ 533.6/Г №406444)
1.1. КАЧЕСТВЕННАЯ КАРТИНА ТЕЧЕНИЯ
Для решения практических задач газодинамического диспергирования материалов необходимо исследование структуры газовых струй, истекающих как в затопленное пространство, так и в спутные потоки. Вопросы, связанные с таким истечением, важны в связи с силовым, тепловым и химическим воздействием струй как на конструктивные элементы установки, на измельчаемый материал, а также рядом других явлений. Неизобарические струи образуются при истечении газа из сопла на нерасчетном режиме, т. е. когда давление ра на срезе сопла отличается от давления р∞ в окружающей среде. Нерасчетность истечения характеризуют степенью нерасчетности п=ра/р∞. При перерасширении потока газа на срезе сопла (п<1) струя называется перерасширенной, а при недорасширении (п>1) — недорасширенной. Отличают случаи истечения в газовую среду, находящуюся в покое относительно сопла (затопленное пространство), а также в спутный и встречный потоки. В отличие от изобарических струй, для которьн основным процессом является вязкое перемешивание, в неизобарических струях из-за нерасчетности истечения газ имеет большую скорость в радиальном направлении, что, в свою очередь, приводит к сложному течению с областями расширения и сжатия, а также с ударными волнами сложной конфигурации. При этом радиальная компонента скорости газа вблизи границы струи оказывается переменной по длине струи и может несколько раз менять свое направление, пока под воздействием эффектов диссипации не станет пренебрежимо малой. Такая особенность приводит к тому, что на некотором расстоянии от среза сопла граница струи может образовывать последовательность характерных бочкообразных и приближенно подобных структур, очертания которых, однако, постепенно размываются под воздействием эффектов вязкости, теплопроводности и диффузии, протекающих в Н1растаюгцем вдоль границы струи слое смешения, а также иод воздействием волновых потерь. Наблюдаемое число таких структур зависит от условий течения и в общем случае оказывается тем меньше, чем сильнее проявляются диссипативные процессы. Так, например, при очень больших степенях нерасчетности истечения (n= ра/р ∞ > 100) зачастую наблюдается лишь одна «бочка». nike store Бочкообразная форма границы неизобарической струи обусловливает возникновение ударных волн сходной конфигурации, а отражение последних от оси может приводить к образованию конфигураций с прямыми замыкающими ударными волнами. Для удобства и наглядности описания картины течения неизобарическую струю условно разделяют на начальный, переходный и основной участки. В качестве начального участка обычно принимается прилегающая к соплу первая бочка струи, в которой имеет место наибольшая неравномерность в распределении газодинамических параметров как в продольном, так и в поперечном направтениях. За исключением случая очень низких чисел Рейнольдса, при которых проявляются эффекты разреженности, в начальном участке струи волновые процессы обычно превалируют над процессами вязкого перемешивания, происходящими только в развивающемся вдоль границы струи слое смешения. На больших расстояниях от среза сопла (в основном участке) волновые процессы ослабевают, давление в струе выравнивается и течение приобретает изобарический характер (аналогичный течению в основном участке расчетной струи (n=1)). Между начальным и основным участками располагается переходный участок со слабой неизобаричностью (0,5<n<3). Неравномерность в распределении параметров здесь значительно меньше, чем в начальном участке, а ударные волны имеют малую интенсивность. Если условия течения таковы, что толщина слоя смешения в конце начального участка оказывается уже сравнимой с поперечными размерами струи, то определяющим процессом в переходном участке является процесс вязкого перемешивания. В таком случае влияние неизобаричности в переходном участке становится незначительным, так что можно полагать, что после начального участка вязкое перемешивание протекает почти так же, как и в изобарической струе. Таким образом, влияние неизобаричности проявляется в основном в начальном участке нерасчетной струи, поэтому главное внимание будет уделено течению в этом участке. Возможность реализации качественно различных структур неизобарических струй, о которых говорилось ранее, иллюстрируется представленными на рис. 1.1. ..1.3 фотографиями визуализации истечения для некоторых режимов, заимствованных из книги (Газодинамика сверхзвуковых неизобарических струй./ В. С. Авдуевский, Э. А. Ашратов, А. В. Иванов и др. Soldes 2017 Asics –М.: Машиностроение, 1989. –320 с.) На рис. 1.1 представлены фотографии, соответствующие истечению турбулентной воздушной струи из сопла с числом Ми=3 в затопленное воздушное пространство на режиме перерасширения, полученные теневым методом при подсветке от постоянного (см. рис. 1.1, а) и искрового (см. рис. 1.1.6) источников света. Первая фотография позволяет видеть «многобочечную» структуру струи, тогда как вторая — судить о н; личии опоясывающего эту струю турбулентного слоя смешения. Аналогичным образом получены фотографии рис. 1.1 для турбулентной воздушной струи, истекающей в затопленное воздухом пространство из сильно недорасширенного сопла с числом М
=3 при степени нерасчетности п=16. Можно видеть, что здесь только первая бочка имеет четкую волновую структуру, структура второй бочки уже сильно размыта эффектами турбулентного перемешивания. Фотографии недорасширенной струи в спутном потоке также показывают наличие только первой бочки. Рассмотрим более подробно качественную картину течения в начальном участке неизобарической сверхзвуковой струи. Анализ размерностей приводит к следующей системе критериев подобия: n= ра/р ∞ — степень нерасчетности истечения; Ма= Wa/aa — число Маха на срезе сопла; 
удельных теплоемкостей для газа струи; θ— угол наклона контура сопла в выходном сечении; M ∞=W∞/a ∞ — число Маха спутного потока; Y00=(cp/ct,)00 — отношение Здесь W и а — соответственно скорость потока и скорость звука; сР и cv — удельные теплоемкости при постоянном даглении и объеме. Эта совокупность параметров определяет те1ение на начальном участке сверхзвуковой неизобарической струи в приближении идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа. Как будет показано в дальнейшем, существуют условия течения, когда толщина δ слоя смешения в пределах начального участка оказывается малой по сравнению с поперечными размерами струи. Такие условия осуществляются при ламинарном режиме течения в слое смешения и достаточно больших местных числах Рейнольдса, а также при турбулентном режиме течения для значения параметра спутности т=1 (т — отношение скорости спутного потока к скорости струи). При этом в первом приближении можно пренебречь влиянием вязкости и описывать течение на начальном участке с использованием модели идеального газа. Модель идеального газа сыграла значительную роль в изучении структуры течения в начальном участке неизобарических струй. В рамках этой модели проведены систематические расчеты, позволившие выявить влияние параметров п, Ма, М∞, γа ,γ∞ и θа на картину течения, составить таблицы струй идеального газа [52]. Поэтому рассмотрение особенностей течения в неизобарических струях в разд. 2 и 3 начинается с обсуждения результатов, полученных для модели идеального газа. В дополнение к перечисленным критериям учет вязки> эффектов в неизобарической струе приводит к следующим критериям подобия: Rea= ρаWаrа — число Рейнольдса, вычисленное по параметрам на срезе сопла и его радиусу rа ( μа — коэффициент вязкости газа при температуре Та); Re∞=ρ∞W∞ r ∞/μ ∞ —число Рейнольдса, вычисленное по параметрам в невозмущенном спутном потоке (μ ∞ — коэффициент вязкости газа спутного потока при температуре Т ∞); m=W∞ /Wa — параметр спутносnи; Рга= μасра/λ ∞ и Pr∞ = μ ∞ cp∞/λ ∞ — числа Прандтля для газа струи и с путного потока (ср — удельная теплоемкость при p=const, λ — коэффициент теплопроводности); Sc а= μа/(ρаD) и Sc∞ = μ∞/(ρ ∞D) — числа Шмидта для газа струи и газа спутного потока (D — коэффициент диффузии). В зависимости от условий течения коэффициенты μ,λ, и D будут соответствовать своим молекулярным значениям или их турбулентным аналогам. Другие безразмерные параметры — у»/»а, Тх/Та. Н ^/На (Н—полная энтальпия) являются производными от указанной совокупности параметров. Кратко опишем волновую структуру течения в начальном участке осесимметричной неизобарической струи. В перерасширенной струе (рис. 1.4) повышение давления на кромке сопла от ра до р∞, происходит в скачке уплотнения, обычно называемом падающим скачком. В области перед этим скачком течение является естественным продолжением течения в сопле. В зависимости от величины степени нерасчетности возможны три характерных режима течения. При значениях п1 ш^1 отражение падающего скачка от оси симметрии происходит регулярным образом (см. рис. 1.4, а). Для примера п.|?кО,55 пр-i Ma=3, уа=1,4 и 8a = 0. Величина п\ растет с уменьшением Ма и ростом 8а. См. с.9 При п<СП[ отражение падающего скачка становится нерегулярным (см. рис. 1.4,6) с образованием центрального скачка {диска Маха), за которым течение становится дозвуковым. Из точки В, которую принято называть тройной точкой, выходит линия тока 8 (в идеальном газе линия тангенциальности разрыва), разделяющая течения за отраженным и центральным сочками. В реальном газе вдоль линии 8 образуется зона смешения. При взаимодействии отраженного скачка 2 с областью постоянного давления образуется волна разрежения 3 и формируется новая «бочка» струи. Рис. 1.4. Схемы течения в перерасширенной затопленной струе: Отметим, что в реальном газе отсутствует граница струи, на которой плотность равна нулю. Истекающий из сопла газ р ic-пространяется во всем пространстве. Это связано с эффектами разреженности течения. Внутри струи на расстояниях, значительно превышающих размер выходного сечения сопла, течение приобретает характер «течения от источника» с переменной в окружном направлении интенсивностью. При этом скорость газа приближается к своему максимальному значению, равному Wn,.M= /~577Ц, а линии тока асимптотически приближаются к прямым линиям, проведенным из центра среза -сопла. Поскольку течение в этом случае приобретает радиальный характер с почти постоянной скоростью W'»max, то из условия сохранения расхода вдоль каждой струйки тока следует, что плотность в этой области уменьшается пропорционально квадоату расстояния от среза сопла. Такой темп изменения плотности приводит к постепенному уменьшению числа столкновений между молекулами и ведет к нарушению химического равновесия и равновесия по внутренним степеням свободы молекул расширяющегося газа. На достаточно большом удалении от сопла (практически нет столкновений между молекулами) нарушается равновесие и по поступательным степеням свободы. Здесь становится несправедливым приближение сплошной среды. Важно иметь в виду, что область течения сильно недорас-ширенной струи, ограниченная висячим и центральным скачками, имеет такое же распределение параметров, которое реализовалось бы в этом участке при истечении газа в вакуум с теми же условиями на срезе сопла. Подробное исследование режима истечения струи в вакуум представлено в работе \5А]. Рассмотрим теперь структуру неизобарической crpyi при наличии спутного потока. В этом случае давление вдоль границы струи оказывается переменным. Однако для дозвукового штока огличие давления от р1Х, незначительно и поэтому структур; такой спутной струи мало отличается от структуры затопленной струи. Экспериментальные и расчетные исследования выявил л очень существенное влияние сверхзвукового спутного потока на газодинамическую структуру струи большой степени нерасчетности. adidas homme Это влияние обусловливается тем, что в спутном потока перед струей образуется криволинейная ударная волна, а давление вдоль границы струи оказывается переменным (рис. New Balance Homme 1.7). Наиболее важный эффект сверхзвукового спутного потока состоит в том, что с увеличением М∞ происходит уменьшение размера центрального скачка и при М∞ отражение висячего скачка практически можно считать регулярным. Ввиду этого оказывается невозможным моделировать неизобарическу о струю,
3. ИСТЕЧЕНИЕ СТРУИ В СПУТНЫЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК
3.1. ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НАЧАЛЬНОГО УЧАСТКА СВЕРХЗВУКОВОЙ НЕДОРАСШИРЕННОЙ СТРУИ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В СПУТНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
3.1.1. Анализ влияния определяющих параметров на структуру начального участка струи
Численное исследование начального участка сверхзвуковой недорасширенной струи, вытекающей из осесимметричногo сопла в сверхзвуковой спутный поток, в рамках приближения 1евязкого газа проведено в работах [16, 25, 52]. Таблицы характеристик течения в таких струях в широком диапазоне изменения определяющих параметров приведены в работе [52]. Используя результаты этих работ, рассмотрим особенности течения на начальном участке струи, обусловленные наличием сверхзвукового спутного потока. При наличии спутного потока течение в струе невязкого газа зависит от двух дополнительных безразмерных критериев — числа Маха М∞ и отношения удельных теплоемкостей для газа спутного потока γ∞— На рис. 3.1 показано влияние М∞ на форму границы струи, головной, висячей и отраженной ударных волн. С ростом М∞ происходит значительное сокращение поперечных и продольных размеров возмущенной области, связанное с уменьшением фактического перепада давлений на кромке сопла из-за образования головной ударной волны в спутном потоке. 0 50 100 JW A/ra Рис. 3.2. Сравнение форм спуткой и затопленной струи (М»=3,1; у»=1,4; й=1‘ — Мо0 = 6. 11=10′; 2 — Мчж = 0. Adidas Soldes п=10″; ‘I — 4^=0. п=44,4; 4 — М»=С л=153 лом М∞=6 (головная ударная волна в спутном потока не показана) и три затопленные струи: первая с такой же степенью нерасче—ности n1|=10′3, вторая — с n2= 44,4, которая равна отношению-: давления на срезе сопла к статическому давлению за ударной волной в спутном потоке в точке ее образования на кромке сопла третья — со степенью нерасчетности n3, смысл которой будет пояснен позже. Сравнение конфигураций струй при одинаковом значении нерасчетности показывает, чтоспутный поток заметно сжимает струю в результате уменьшения начального угла наклена границы, который определяется степенью нерасчетности п2. С другой стороны, сравнение струи в спутном потоке с затопленной струей, имеющей тот же самый начальный угол наклона гр; ницы, показывает, что при наличии спутното потока струя расширяется сильнее и протяженность начального участка значительно больше Это связано с различием в распределениях статического давления вдоль границы спутной и затопленной струй. Статическое давление вдоль всей границы спутной струи монотонно уменьшается до значений, несколько меньших р∞, а затем в конце начального участка вновь возрастает вследствие эффекта стекания газа к оси симметрии. Наличие течения разрежения вдоль границы спутной струи является причиной, объясняющей большую протяженность начального участка спутной струи, чем затопленной. Действительно, искривление границы затопленной струи обусловлено тем, что в илу постоянства давления вдоль границы падение давления из-за эффекта осесимметричности должно быть компенсировано его повышением в волне сжатия при повороте границы в направлении к оси. В спутной струе давление вдоль.границы струи уменьшаете, поэтому второй эффект, связанный с искривлением границы проявляется слабее. Падение давления вдоль границы спутной струи приводит к более медленному возрастанию интенсивности висячего скачка, чем в затопленной струе, при одном и том же фактическом отношении давлений на кромке сопла. В конечном счете это является ричиной того, что при истечении недорасширенной струп в спуг-ый сверхзвуковой поток с М∞ ≥3 диаметр центрального скачка мал по сравнению с характерным размером струи и практически не зависит от определяющих п-араметров. На рис. 3.3 для затопленной и спутной струй показаны зависимости давления за висячим скачком от его относительного диаметра в той области струи, где диаметр висячего скачка уменьшается. При истечении в сверхзвуковой спутный поток в распределении давления за висячим скачком наблюдается минимум как и в случае затопленной струи, но величина его значително меньше. В затопленной струе центральный скачок образуется за точкой минимума, когда давление за висячим скачком составлчет примерно 0,Зр ∞. Если принять, что при наличии спутного потока центральный скачок также образуется, когда давление за висячим скачком достигает примерно такой же величины, то из рис. 3.3 становится очевидным, что размер центрального скачка в сверхзвуковой спутной струе значительно меньше, чем в затопленной. Таким образом, можно сделать вывод, что геометрические картины течения, не говоря уже о распределениях газодинамических величин, в спутной и затопленной струях принципиально различаются, и поэтому струю, вытекающую в спутный сверхзвуковой поток, нельзя моделировать струей, вытекающей в затопленное пространство. Вместе с тем в работе [12] показано, что при достаточноаточно больших степенях нерасчетности в области между соплом и максимальным сечением первой бочки контуры висячих скачков и границ спутной и затопленной струй можно практически подогнать друг к другу, если при определенной степени нерасчетности затопленной струи выбрать в качестве характерного давления в окружающей среде величину 
(3-1) гдеτ— характерный угол расширения или относительная толщина струи. Давление 
представляет величину, вычисленную по формуле Ньютона на стенке, наклоненной к набегающем} потоку под угломτ Величина τ одинакова для затопленной и спутной струи и равна τ=
где 
— импульс и расход газа на срезе сопла; Wmax— максимальная скорость истечения. Для сопла с равномерными параметрами на выходе 
oпределяется формулой (2.21): 
Для условий спутной струи, изображенной на рис. 3.2. степень нерасчетности пл, определенная по р’^ из соотношения (3.1), равна 153. Соответствующая затопленная струя также изображена на рис. 3.2. Влияние остальных определяющих параметров п, Mtl, у», 0″ на форму начального участка спутной и затопленной струй является качественно сходным. Как и при истечении в затопленное пространство форма начального участка спутной струи с увеличением степени нерасчетности приближается к автомодельной в координатах у/(гаГ(0°), y/{ranKn), см. рис. 3.4. Однако практически эта автомодельность наступает при более высоких значениях степени нерасчетности, чем в случае затопленной струи, поскольку при сверхзвуковых числах М», фактическая величина отношения давлений на выходе сопла существенно меньше п. При умеренных значениях степени нерасчетности во внешнем потоке реализуется течение с присоединенным к кромке сопла скачком уплотнения. Однако с увеличением степени нерасчетносги начальный угол наклона границы струи на кромке может превысить предельное значение для данного числа Маха и должно возникнуть течение с отошедшей ударной волной. Для моделирования течения при больших значениях степени нерасчетности рассматривались две модели течения [16]. В первой модели предполагается, что расстояние отхода ударной волны по оси струи превышает продольный размер ЛА, из которого истекает струя (рис. 3.5, о). Для приближенного описания течения в этом случае истинный контур АВ летательного аппарата заменялся контуром АХВ притуплённого тела, который плавно сопрягается с границей струи BD. F a S Рис. ‘i.5.Схемы течения при больших нерасчетностях Вторая модель течения, так называемая модель «жидкого конуса», соответствует случаю, когда расстояние отхода ударной волны, возникающей перед струей, меньше длины ЛА. Тогда в реальном течении возникает отрыв пограничного слоя от поверхности ЛА. Предполагалось, что длина аппарата такова, что стрыв происходит от носка, граница области отрыва прямолинейна, наклонена к оси струи под углом 45° и плавно сопрягается с границей струи в точке Е (см. рис. 3.5,6). Давление в зоне отрыва считалось постоянным и равным давлению на поверхности острого конуса, полуугол которого равен углу наклона границы зоны отрыва. Расчеты [16] недорасширенной струи с использованием обеих моделей течения показали, что в приближении невязкогс газа характер взаимодействия струи со спутным потоком при больших степенях нерасчетности заметно сказывается на параметрах течения лишь в примыкающей к соплу области и почти не влияет на них во всей остальной части (90… 95%) начального участка. Приведенные здесь результаты были получены с использованием модели отрывного течения. С.155. чениях ()»■ полностью сохраняются все характерные особенности течения, установленные для струй при небольших (),,. Вместе с тем наблюдаются и некоторые специфические особенностг, отличающие течения в струях при больших ()». Например, лаг-ление вдоль границы струи монотонно уменьшается, оставаясь вплоть до сечения, где отраженный скачок выходит на гранит’ струи, выше величины давления в невозмущенном смутном поток*4. Можно заметить, что в случае кольцевой струи практически во всей возмущенной области уровни давления и плотности оказываются выше, а величина модуля скорости меньше по сравнению со случаем истечения струи из круглого сопла.
4.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТРУИ
4.2.1. Струи, истекающие из сопл неосесимметричной формы
В практике по различным конструктивным соображения л достаточно часто используются сопла, имеющие неосесимметрш -ную форму. Выходные сечения таких сопл могут иметь весьма различную форму, например эллипса, треугольника, квадрат; , прямоугольника, многоугольника и т. д. Истечение неизобарических струй из таких сопл имеет трехмерную структуру. Таки и образом, в дополнение к безразмерным критериям, определяющий течение в осесимметричной струе, в данном случае для описания течения должны быть привлечены новые критерии, отражающие геометрическую форму сопла. Ясно, что истечение струи из сопла, имеющего выходце е сечение в форме правильного многоугольника, будет близко к осесим метричному случаю, если число сторон многоугольника достаточно велико. С уменьшением этого числа сторон отличия от осесимметрпчного истечения будут увеличиваться, однако, как показывают исследования, эти отличия оказываются не очем. air max 1 og большими, если многоугольник является правильным. Существенные отличия возникают, когда у выходного среза сопла значительно разнятся размеры в двух взаимно перпендпкулярньх характерных направлениях -■ «ширина» и «длина». Вдоль эт1 х характерных направлений в дальнейшем будем располагать координатные оси ;/ и г. Ось х будем располагать в направлен! и истечения. Предельным случаем, наиболее сильно отличающимся от осесимметричного, является истечение струи из плоского сопла с бесконечным отношением его длины / к ширине d—-2u. Д: я анализа течения в различных конкретных примерах пространственного истечения можно рассматривать последние как промежуточные между осесимметричным и плоским течениями. Для эго’Осначала кратко рассмотрим некоторые особенности истечения недорасширенной струи и:* плоского сопла в затопленное пространство и сравним их с особенностями для осесимметрично о истечения. Для анализа течения в начальном участке плоской недора •-ширенной струи можно воспользоваться методом нестационарном аналогии подобно тому, как это было сделано в подразд. 2.1 4 для оееснмметрнчных струй. Пусть степень нерасчетностп п очень велика (н>-10), а плоское сопло с полушириной а имечт на выходе гиперзвуковое число Маха (Ми>3) и угол направления потока на выходной кромке (),,=(). Как и ранее, полагаем, что после выхода из сопла плоский слой газа толщиной dx=Udt равномерно движется вдоль оси со скоростью и=\’2[На — »■,)]’ ~ и одновременно расширяется з поперечном направлении //, расходуя запас внутренней энергн i еа=(\Та, соответствующей температуре Ти на выходе сопла. При очень большой степени нерасчетности можно считать, чт) в максимальном сечении х—Л’ энергия eadLldt/l порции плоског) слоя газа io/пциной dx и единичной длины в направлении 2, равной (i,, dt/l~n., W ,,’2и ■ 1 •(///, полностью расходуется на работ/ против сил давления pv газа затопленного пространства — р J2Yy< X 1 • dx. Баланс этих величин дает для максимальной полуширины } плоской струи следующие выражения U=W,,( Аналогично подразд. 2.1.4 из oa.iaiica количества движения в направлении // для произвольного сечения начального участкт ii — </t/v / i/ > dy, \ — поперечная скорость газа струи в системе координат, движущейся вместе с границей //■>, можно получить уравнение границы уг.=(х) на начальном участке и расстояние Л’ до его максимального сечения, если приближенно положить о = 6\,/(2У • 1 • U). air jordan flight 3 femme Получаем )]:•=;(2- yff, (4.2) (4«3) 284 Дальше см.